Question

10．设△ABC的内角A、B、C的对边长分别为a，b，c，且ac=2b²．
（Ⅰ）求证：$cosB≥\frac{3}{4}$；
（Ⅱ）若cos（A-C）+cosB=1，求角B的大小．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知利用余弦定理，基本不等式即可证明得解．
（Ⅱ）由已知及三角函数恒等变换的应用化简可得$sinAsinC=\frac{1}{2}$，又由2b²=ac，利用正弦定理可求sinB的值，结合范围B∈（0，π），且$cosB≥\frac{3}{4}＞0$，知B为锐角，即可得解B的值．

解答 （本题满分为10分）
解：（Ⅰ）因为$cosB=\frac{{{a^2}+{c^2}-{b^2}}}{2ac}=\frac{{{a^2}+{c^2}-\frac{1}{2}ac}}{2ac}≥\frac{{2ac-\frac{1}{2}ac}}{2ac}=\frac{3}{4}$，
所以$cosB≥\frac{3}{4}$．…（4分）
（Ⅱ）因为cos（A-C）+cosB=cos（A-C）-cos（A+C）=2sinAsinC=1，
所以$sinAsinC=\frac{1}{2}$，…（6分）
又由2b²=ac，得${sin^2}B=\frac{1}{2}sinAsinC=\frac{1}{4}$，
又B∈（0，π），且$cosB≥\frac{3}{4}＞0$，知B为锐角，
故$sinB=\frac{1}{2}$，得$B=\frac{π}{6}$．…（10分）

点评 本题主要考查了余弦定理，基本不等式，三角函数恒等变换的应用，正弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．