Question

11．已知△ABC的内角A，B，C对边分别为a，b，c，若满足$\frac{2c-b}{a}$=$\frac{cosB}{cosA}$，且$a=2\sqrt{5}$，则△ABC面积的最大值5$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 由正弦定理，两角和的正弦函数公式，三角形内角和定理化简已知等式可得2sinC•cosA=sinC，由于sinC≠0．可求cosA，进而可得∠A=$\frac{π}{3}$，由余弦定理，基本不等式可求bc≤20，利用三角形面积公式即可计算得解．

解答 解：∵$\frac{2c-b}{a}$=$\frac{cosB}{cosA}$，
∴（2c-b）•cosA=a•cosB，
由正弦定理，得（2sinC-sinB）•cosA=sinA•cosB．
整理得2sinC•cosA-sinB•cosA=sinA•cosB．
∴2sinC•cosA=sin（A+B）=sinC．
在△ABC中，sinC≠0．
∴cosA=$\frac{1}{2}$，∠A=$\frac{π}{3}$．
由余弦定理cosA=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=$\frac{1}{2}$，a=2$\sqrt{5}$．
∴b²+c²-20=bc≥2bc-20
∴bc≤20，当且仅当b=c时取“=”．
∴三角形的面积S=$\frac{1}{2}$bcsinA≤5$\sqrt{3}$．
∴三角形面积的最大值为5$\sqrt{3}$．
故答案为：5$\sqrt{3}$．

点评 本题主要考查了正弦定理，两角和的正弦函数公式，三角形内角和定理，余弦定理，基本不等式，三角形面积公式在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．