Question

4．已知数列{a_n}满足a₁=1，S_n=$\frac{（n+1{）a}_{n}}{2}$（n∈N）求{a_n}的通项公式．

Answer 1

分析 由已知数列递推式可得$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}=\frac{n}{n-1}$（n≥2），然后利用累积法求得数列通项公式．

解答 解：由S_n=$\frac{（n+1{）a}_{n}}{2}$，得2S_n=（n+1）a_n，
∴2S_n-1=na_n-1 （n≥2），
两式作差可得：2a_n=（n+1）a_n-na_n-1，
即$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}=\frac{n}{n-1}$（n≥2），
则$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}=\frac{2}{1}，\frac{{a}_{3}}{{a}_{2}}=\frac{3}{2}，\frac{{a}_{4}}{{a}_{3}}=\frac{4}{3}，…\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}=\frac{n}{n-1}$，
累积得，$\frac{{a}_{n}}{{a}_{1}}=\frac{n}{n-1}$，
又a₁=1，
∴${a}_{n}=\frac{n}{n-1}$（n≥2）．
∴${a}_{n}=\left\{\begin{array}{l}{1，n=1}\\{\frac{n}{n-1}，n≥2}\end{array}\right.$．

点评 本题考查数列递推式，考查了累积法求数列的通项公式，是中档题．