Question

已知函数f(x)的定义域是{x|x≠0}，对定义域内任意x₁，x₂都有f(x₁·x₂)＝f(x₁)＋f(x₂)，且当x>1时，f(x)>0，f(2)＝1.

(1)求证：f(x)是偶函数；

(2)求证：f(x)在区间(0，＋∞)上是增函数；

(3)解不等式f(2x²－1)<2.

Answer 1

解：(1)证明：令x₁＝x₂＝1，得f(1)＝2f(1)，

∴f(1)＝0.

令x₁＝x₂＝－1，得f(－1)＝0，

∴f(－x)＝f(－1)＋f(x)＝f(x)，

∴f(x)是偶函数．

(2)证明：设x₂>x₁>0，则f(x₂)－f(x₁)＝f(x₁·)－f(x₁)＝f(x₁)＋f()－f(x₁)＝f()．

∵x₂>x₁>0，∴>1，

∴f()>0，即f(x₂)－f(x₁)>0，

∴f(x₂)>f(x₁)，∴f(x)在区间(0，＋∞)上是增函数．

(3)∵f(2)＝1，∴f(4)＝f(2)＋f(2)＝2.

∵f(x)是偶函数，

∴不等式f(2x²－1)<2可化为f(|2x²－1|)<f(4)．

又∵f(x)在区间(0，＋∞)上是增函数，

∴0<|2x²－1|<4，

解得－<x<0或0<x<，

即原不等式的解集为(－，0)∪(0，)．