Question

曲线x²+y²+x-6y+3=0上两点P、Q关于直线kx-y+4=0对称且OP⊥OQ，求直线PQ的方程．

Answer 1

分析：因为曲线方程为圆的方程，圆上的P与Q关于直线对称得到直线过圆心，把圆心坐标代入即可求出k，又因为PQ⊥直线kx-y+4=0得到直线PQ的斜率为-

1

k

，然后联立直线与圆的方程，利用OP⊥OQ得到x₁x₂+y₁y₂=0，再借助于韦达定理，即可写出直线的方程．

解答：解：曲线x²+y²+x-6y+3=0可变为：(x+

1

2

)2+（y-3）²=(

5

2

)2
得到圆心（-

1

2

，3），半径为

5

2

；
因为圆上有两点P、Q关于直线对称，得到圆心在直线上，
把（-

1

2

，3）代入到kx-y+4=0中求出k=2，且PQ与直线垂直，
所以直线PQ的斜率=

-1

k

=-

1

2

，设PQ方程为y=-

1

2

x+b，
联立得

x2+y2+x-6y+3=0 y=- 1 2 x+b

，
代入整理得

5

4

x²+（4-b）x+b²-6b+3=0，
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
∵OP⊥OQ．∴x₁x₂+y₁y₂=0，
∴

5

4

x₁x₂-

b

2

（x₁+x₂）+b²=0，
∴b²-6b+3-

2

5

（b²-4b）+b²=0，
∴b=

3

2

或b=

5

4

，
所以直线PQ的方程为：y=-

1

2

x+

3

2

或y=-

1

2

x+

5

4

，经验证符合题意．

点评：考查学生理解圆的对称轴为过直径的直线，会根据两直线垂直得到斜率乘积为-1，会根据条件写出直线的一般式方程．