Question

19．如图，多面体ABCDEF中，四边形ABCD是边长为2的正方形，四边形EFBD为等腰梯形，EF∥BD，EF=$\frac{1}{2}$BD，平面EFBD⊥平面ABCD．
（Ⅰ）证明：DE∥平面ACF；
（Ⅱ）若梯形EFBD的面积为3，求二面角A-BF-D的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据线面平行的判定定理即可证明DE∥平面ACF；
（Ⅱ）若梯形EFBD的面积为3，根据二面角平面角的定义作出二面角的平面角，结合三角形的边角关系即可求二面角A-BF-D的余弦值．

解答 解：（Ⅰ）设AC，BD的交点为O，则O为BD的中点，连接OF，
由EF∥BD，EF=$\frac{1}{2}$BD，得EF∥OD．EF=OD，
所以四边形EFOD为平行四边形，故ED∥OF，…（3分）
又EF?平面ACF，OF?平面ACF，
所以DE∥平面ACF．  …（6分）

（Ⅱ）方法一：因为平面EFBD⊥平面ABCD，交线为BD，AO⊥BD，
所以AO⊥平面EFBD，作OM⊥BF于M，连AM，
∵AO⊥平面BDEF，∴AO⊥BF，又OM∩AO=O，
∴BF⊥平面AOM，∴BF⊥AM，
故∠AMO为二面角A-BF-D的平面角．…（8分）
取EF中点P，连接OP，因为四边形EFBD为等腰梯形，故OP⊥BD，
因为${S}_{梯形EFBD}=\frac{1}{2}（EF+BD）•OP$=$\frac{1}{2}×（\sqrt{2}+2\sqrt{2}）$•OP=3，
所以OP=$\sqrt{2}$．由PF=$\frac{1}{2}OB=\frac{\sqrt{2}}{2}$，得BF=OF=$\sqrt{O{P}^{2}+P{F}^{2}}$=$\frac{\sqrt{10}}{2}$，
因为${S}_{△POB}=\frac{1}{2}OB•OP=\frac{1}{2}OM•BF$，
所以OM=$\frac{OB•OP}{BF}$=$\frac{2\sqrt{10}}{5}$，故AM=$\sqrt{O{A}^{2}+O{M}^{2}}$=$\frac{3\sqrt{10}}{5}$，…（10分）
所以cos$∠AMO=\frac{OM}{AM}$=$\frac{2}{3}$，
故二面角A-BF-D的余弦值为$\frac{2}{3}$．  …（12分）

点评 本题主要考查线面平行的判定以及二面角的求解，利用二面角平面角的定义作出二面角的平面角是解决本题的关键．本题也可以建立空间直角坐标系，利用向量法进行求解，综合性较强，运算量较大．