Question

20．设a∈R，函数f（x）=x|x-a|-a，若对任意的x∈[2，3]，f（x）≥0恒成立，则a的取值范围是（-∞，$\frac{4}{3}$]∪[$\frac{9}{2}$，+∞）．

Answer 1

分析 讨论a的取值：a＜2，2≤a≤3，a＞3，三种情况，求出每种情况下的f（x）的最小值，让最小值大于等于0从而求出a的取值范围．

解答 解：f（x）=x|x-a|-a；
∴①若a＜2，则x=2时，f（x）在[2，3]上取得最小值f（2）=2（2-a）-a=4-3a；
∴4-3a≥0，a≤$\frac{4}{3}$；
∴a≤$\frac{4}{3}$；
②若2≤a≤3，则x=a时，f（x）取得最小值f（a）=-a；
-a＜0，不满足f（x）≥0；
即这种情况不存在；
③若a＞3，则x=3时，f（x）取得最小值f（3）=3（a-3）-a=2a-9；
∴2a-9≥0，a≥$\frac{9}{2}$；
∴a≥$\frac{9}{2}$；
综上得a的取值范围为：（-∞，$\frac{4}{3}$]∪[$\frac{9}{2}$，+∞）．

点评 考查奇函数的定义，奇函数在原点有定义时f（0）=0，函数零点的定义，含绝对值函数求最值的方法：观察解析式的方法，以及画出分段函数的图象，以及根据图象求函数零点个数的方法．