Question

16．已知集合A={x|f（x）=lg（x-1）+$\sqrt{2-x}$}，集合B={y|y=2^x+a，x≤0}．
（1）若a=$\frac{3}{2}$，求A∪B；
（2）若A∩B=∅，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）化简集合A，B，再由并集的含义即可得到；
（2）运用指数函数的单调性求出集合B，由A∩B=∅，可得a 的范围．

解答 解：（1）由f（x）=lg（x-1）+$\sqrt{2-x}$可得，x-1＞0且2-x≥0，
解得1＜x≤2，故A={x|1＜x≤2}；…（2分）
若a=$\frac{3}{2}$，则y=2^x+$\frac{3}{2}$，当x≤0时，0＜2^x≤1，$\frac{3}{2}$＜2^x+$\frac{3}{2}$≤$\frac{5}{2}$，
故B={y|$\frac{3}{2}$＜y≤$\frac{5}{2}$}；                                            …（5分）
所以A∪B={x|1＜x≤$\frac{5}{2}$}．                                       …（7分）
（2）当x≤0时，0＜2^x≤1，a＜2^x+a≤a+1，故B={y|a＜y≤a+1}，…（9分）
因为A∩B=∅，A={x|1＜x≤2}，所以a≥2或a+1≤1，…（12分）
即a≥2或a≤0，
所以实数a的取值范围为a≥2或a≤0．    …（14分）

点评 本题考查集合的运算和函数的定义域和值域的求法，考查化简整理的运算能力，属于中档题．