Question

9．已知抛物线E：y²=8x，圆M：（x-2）²+y²=4，点N为抛物线E上的动点，O为坐标原点，线段ON的中点P的轨迹为曲线C．
（1）求曲线C的方程；
（2）点Q（x₀，y₀）（x₀≥5）是曲线C上的点，过点Q作圆M的两条切线，分别与x轴交于A，B两点，求△QAB面积的最小值．

Answer 1

分析 （1）利用代入法，求曲线C的方程；
（2）设切线方程为y-y₀=k（x-x₀），圆心（2，0）到切线的距离d=$\frac{|2k+{y}_{0}-k{x}_{0}|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=2，整理可得$（{{x}_{0}}^{2}-4{x}_{0}）{k}^{2}+（4{y}_{0}-2{x}_{0}{y}_{0}）k+{{y}_{0}}^{2}-4=0$，表示出面积，利用函数的单调性球心最小值．

解答 解：（1）设P（x，y），则点N（2x，2y）在抛物线E：y²=8x上，
∴4y²=16x，
∴曲线C的方程为y²=4x；
（2）设切线方程为y-y₀=k（x-x₀）．
令y=0，可得x=${x}_{0}-\frac{{y}_{0}}{k}$，
圆心（2，0）到切线的距离d=$\frac{|2k+{y}_{0}-k{x}_{0}|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=2，
整理可得$（{{x}_{0}}^{2}-4{x}_{0}）{k}^{2}+（4{y}_{0}-2{x}_{0}{y}_{0}）k+{{y}_{0}}^{2}-4=0$．
设两条切线的斜率分别为k₁，k₂，则k₁+k₂=$\frac{2{x}_{0}{y}_{0}-4{y}_{0}}{{{x}_{0}}^{2}-4{x}_{0}}$，k₁k₂=$\frac{{{y}_{0}}^{2}-4}{{{x}_{0}}^{2}-4{x}_{0}}$，
∴△QAB面积S=$\frac{1}{2}$|（x₀-$\frac{{y}_{0}}{{x}_{1}}$）-（x₀-$\frac{{y}_{0}}{{k}_{2}}$）|y₀=2•$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{{x}_{0}-1}$
设t=x₀-1∈[4，+∞），则f（t）=2（t+$\frac{1}{t}$+2）在[4，+∞）上单调递增，
∴f（t）≥$\frac{25}{2}$，即△QAB面积的最小值为$\frac{25}{2}$．

点评 本题考查直线与抛物线的综合运用，具体涉及到抛物线的基本性质及应用，直线与抛物线的位置关系、圆的简单性质等基础知识，轨迹方程的求法和点到直线的距离公式的运用．