Question

19．已知正数数列{a_n}的前n项和S_n=$\frac{1}{2}$（a_n+$\frac{1}{an}$），
（1）求a₁，a₂，a₃；
（2）归纳猜想a_n的表达式，并用数学归纳法证明你的结论．

Answer 1

分析 （1）由S_n与a_n的关系，我们从n=1依次代入整数值，即可求出a₁，a₂，a₃；
（2）由a₁，a₂，a₃的值与n的关系，我们归纳推理出数列的通项公式，观察到它们是与自然数集相关的性质，故可采用数学归纳法来证明．

解答 解　（1）a₁=1，a₂=$\sqrt{2}$-1，a₃=$\sqrt{3}$-$\sqrt{2}$．
（2）猜想a_n=$\sqrt{n}$-$\sqrt{n-1}$．
证明：①当n=1时，由a₁=$\sqrt{1}$=1得结论成立；
②假设n=k（k∈N^*）时结论成立，
即a_k=$\sqrt{k}$-$\sqrt{k-1}$．
当n=k+1时，
a_k+1=S_k+1-S_k=$\frac{1}{2}$（a_k+1+$\frac{1}{ak+1}$）-$\frac{1}{2}$（a_k+$\frac{1}{ak}$）
=$\frac{1}{2}$（a_k+1+$\frac{1}{ak+1}$）-$\frac{1}{2}$（$\sqrt{k}$-$\sqrt{k-1}$+$\frac{1}{\sqrt{k}-\sqrt{k-1}}$），
从而有a_k+1²+2$\sqrt{k}$a_k+1-1=0，
又由a_k+1＞0，
解得a_k+1=$\frac{-2\sqrt{k}+\sqrt{4k+4}}{2}$=$\sqrt{k+1}$-$\sqrt{k}$，
这说明当n=k+1时结论成立．
由①②可知，a_n=$\sqrt{n}$-$\sqrt{n-1}$对任意正整数n都成立．

点评 本题（2）中的证明要用到数学归纳法，数学归纳法常常用来证明一个与自然数集N相关的性质，其步骤为：设P（n）是关于自然数n的命题，若1）（奠基） P（n）在n=1时成立；2）（归纳） 在P（k）（k为任意自然数）成立的假设下可以推出P（k+1）成立，则P（n）对一切自然数n都成立