题目内容

某县为“中学生知识竞赛”进行选取性测试，规定：成绩大于或等于90分的右参赛资格，90分以下（不包括90分）的则被淘汰，若现有1000人参加测试，学生成绩的频率分别直方图如图：
（1）根据频率分别直方图，求获得参赛资格的人数并估算这1000名学生测试的平均值
（2）若知识竞赛分初赛和复赛，在初赛中每人最多有5道选题答题的机会，累计大队3题或答错3题即终止，答对3题者方可参加复赛，已知参赛者甲答对每一个问题的概率都相同，并且相互之间没有影响，已知他连续两次答错的概率为
1
9
，求甲在初赛中答题个数的分布列及数学期望．
考点：离散型随机变量及其分布列,频率分布直方图,离散型随机变量的期望与方差
专题：概率与统计
分析：（1）利用频率分布直方图中小长方体面积表示对应频率的含义，求出获得参赛资格的频率，再利用频数等于总数乘以频率，得获得参赛资格的人数；利用组中值进行估算平均值．
（2）先求出参赛者甲答对每一个问题的概率P（A），由（1-P（A）2）=
1
9
，得P（A）=
2
3
．学生甲答题个数ξ的可能值为3，4，5，甲答题数为3时，要么全答对、要么全答错．甲答题数为5时，前4题必然是两对两错，最后一题不论对错都结束．甲答题数为4时，前3题为一对两错时，第4题必答错；前3题为一错两对时，第4题必答对．最后利用数学期望公式求期望值．
解答： 解：（1）由频率分布直方图，知：
获得参赛资格的人数为1000×（0.0050+0.0043+0.0032）×20=250人．
设1000名学生的平均成绩为
.
x
，
则
.
x
=（
30+50
2
×0.0065+
50+70
2
×0.0140+
70+90
2
×0.0170+
110+90
2
×0.0050+
110+130
2
×0.0043+
150+130
2
×0.0032）×20=78.48分．
（2）设学生甲答对每道题的概率为P（A），则（1-P（A）2）=
1
9
，
∴P（A）=
2
3
，
学生甲答题个数ξ的可能值为3，4，5，
则P（ξ=3）=（
2
3
）3+（
1
3
）3=
1
3
，
P（ξ=4）=
C
1
3
(
1
3
)(
2
3
)3+
C
1
3
(
2
3
)(
1
3
)3=
10
27
，
P（ξ=5）=
C
2
4
(
1
3
)2(
2
3
)2=
8
27
，
∴ξ的分布列为
ξ345
P
1
3
10
27
8
27
Eξ=
1
3
×3+
10
27
×4+
8
27
×5=
107
27
．（12分）
点评：本题考查频率分布直方图的应用，考查离散型随机变量的分布列和概率的求法，是中档题，解题时要注意频率分布直方图的性质和排列组合的合理运用．
练习册系列答案
相关题目
利用校园内围墙一角和篱笆围成一个面积为128m2的直角梯形花园，已知两围墙所成角为135°（如图），则所用篱笆总长度的最小值为（　　）
A、16
3
m
B、32m
C、64m
D、16m
（x-2）（x-1）5的展开式中x2项的系数为
 
．（用数字作答）
已知向量
a
，
b
不共线，且
AB
=
a
+
2b
，
CD
=7
a
-2
b
，
BC
=-5
a
+k
b
，A、B、C三点共线，求k值．
定义在R上的奇函数f（x）的最小正周期为4，且在[2，3]上是增函数，有下列命题：
①f（2014）=0；②f（2015）＞0；③f（
2x2+4x+5
x2+2x+2
）＞0；④f（
2015
2014
）＜f（
5
2
）．
正确命题的个数为（　　）
A、1B、2C、3D、4
下列说法中，正确的是（　　）
A、数据5，4，4，3，5，2，1的中位数是3
B、一组数据的标准差是这组数据的方差的平方
C、频率分布直方图中各小长方形的面积等于相应各组的频数
D、数据2，3，4，5 的标准差是数据4，6，8，10的标准差的一半
如图，在正方体ABCD-A′B′C′D′中，E，F分别是A′A，C′C的中点，则下列判断中正确的是
 
．
①四边形BFD′E在底面ABCD内的投影是正方形；
②四边形EBFD′在底面A′D′DA内的投影是菱形；
③四边形EBFD′在面A′D′DA内的投影与在面ABB′A′内的投影是全等的平行四边形．
已知
sinα-cosα
sinα+cosα
=
1
3
，求cos4（
π
3
+α）-cos4（
π
6
-α）．
在等比数列{an}中，a5-a1=15，
1
2
a4为a2与6的等差中项，求数列{an}的公比及通项公式．

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