Question

17．如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，平面A₁BC⊥侧面A₁ABB₁，且AA₁=AB=2
（1）求证：AB⊥BC；
（2）若AC=2$\sqrt{2}$，求锐二面角A-A₁C-B的大小．

Answer 1

分析 （1）取A₁B的中点D，连接AD，推导出AD⊥A₁B，从而AD⊥平面A₁BC，进而AD⊥BC，由线面垂直得AA₁⊥BC，由此能证明AB⊥BC．
（2）过点A作AE⊥A₁C于点E，连DE，推导出∠AED即为二面角A-A₁C-B的一个平面角，由此能求出二面角A-A₁C-B的大小．

解答 证明：（1）如右图，取A₁B的中点D，连接AD
因AA₁=AB，则AD⊥A₁B，…1分
由平面A₁BC⊥侧面A₁ABB₁，且平面A₁BC∩侧面A₁ABB₁=A₁B，
得AD⊥平面A₁BC，…3分
又BC?平面A₁BC，
所以AD⊥BC．…4分
因为三棱柱ABC---A₁B₁C₁是直三棱柱，则AA₁⊥底面ABC，
所以AA₁⊥BC．…5分
又AA₁∩AD=A，从而BC⊥侧面A₁ABB₁，
又AB?侧面A₁ABB₁，故AB⊥BC．…7分
解：（2）过点A作AE⊥A₁C于点E，连DE．
由（1）知AD⊥平面A₁BC，则AD⊥A₁C，且AE∩AD=A，
∴∠AED即为二面角A-A₁C-B的一个平面角，…9分
且直角△A₁AC中：$AE=\frac{{{A_1}A•AC}}{{{A_1}C}}=\frac{{2×2\sqrt{2}}}{{2\sqrt{3}}}=\frac{{2\sqrt{6}}}{3}$…10分
又$AD=\sqrt{2}$，$∠ADE=\frac{π}{2}$，
∴$sin∠AED=\frac{AD}{AE}=\frac{{\sqrt{2}}}{{\frac{{2\sqrt{6}}}{3}}}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，…11分
由二面角A-A₁C-B为锐二面角，∴$∠AED=\frac{π}{3}$，
即二面角A-A₁C-B的大小为$\frac{π}{3}$．…12分．

点评 本题考查异面直线垂直的证明，考查二面角的大小的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．