Question

2．设函数 f（x）=cos$\frac{π}{3}x$，则 f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2016）+f（2017）=$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 根据函数f（x）=cos$\frac{π}{3}$x的最小正周期为T=6，利用其周期性即可求出结果．

解答 解：函数 f（x）=cos$\frac{π}{3}x$的周期为T=$\frac{2π}{ω}$=$\frac{2π}{\frac{π}{3}}$=6，
且f（1）=cos$\frac{π}{3}$=$\frac{1}{2}$，f（2）=cos$\frac{2π}{3}$=-$\frac{1}{2}$，
f（3）=cosπ=-1，f（4）=cos$\frac{4π}{3}$=-$\frac{1}{2}$，
f（5）=cos$\frac{5π}{3}$=$\frac{1}{2}$，f（6）=cos2π=1，
∴f（1）+f（2）+f（3）+f（4）+f（5）+f（6）=0，
∴f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2 015）+f（2 016）+f（2017）
=336×[f（1）+f（2）+f（3）+f（4）+f（5）+f（6）]+f（1）
=0+$\frac{1}{2}$
=$\frac{1}{2}$．
故答案为：$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查了三角函数与数列的周期性、数列求和，考查了推理能力与计算能力，属于基础题目．