Question

11．已知数列{a_n}的通项为a_n=$\left\{{\begin{array}{l}{n+\frac{15}{n}，n≤5}\\{alnn-\frac{1}{4}，n＞5}\end{array}}$，若{a_n}的最小值为$\frac{31}{4}$，则实数a的取值范围是[$\frac{8}{ln6}$，+∞）．

Answer 1

分析 利用基本不等式可知a_n≥a₄=$\frac{31}{4}$（n≤5），进而问题转化为当n＞5时a≥$\frac{8}{lnn}$恒成立，计算即得结论．

解答 解：由题可知当n≤5时结合函数y=x+$\frac{15}{x}$（x＞0），可知a_n≥a₄=4+$\frac{15}{4}$=$\frac{31}{4}$，
又因为{a_n}的最小值为$\frac{31}{4}$，
所以当n＞5时y=alnn-$\frac{1}{4}$≥$\frac{31}{4}$，即alnn≥8，
又因为lnn＞ln5＞0，
所以当n＞5时a≥$\frac{8}{lnn}$恒成立，
所以$a≥\frac{8}{ln6}$，
故答案为：[$\frac{8}{ln6}$，+∞）．

点评 本题考查数列的递推式，考查函数的单调性，考查分离参数，考查基本不等式，注意解题方法的积累，属于中档题．