Question

如图，曲线y²=x（y≥0）上的点P_i与x轴的正半轴上的点Q_i及原点O构成一系列正三角形△OP₁Q₁，△Q₁P₂Q₂，…△Q_n-1P_nQ_n…设正三角形Q_n-1P_nQ_n的边长为a_n，n∈N﹡（记Q₀为O），Q_n（S_n，0）．
（1）求a₁的值；
（2）求数列{a_n}的通项公式a_n．

Answer 1

分析：（1）假设出P₁关于a₁的坐标，代入曲线方程，得到关于a₁的方程，求解即可．
（2）根据题意求得P_n+1的坐标，并代入曲线方程中，得到S_n=

3

4

a_n+1²-

1

2

a_n+1，分两种情况讨论：①当n≥2时，利用a_n=S_n-S_n-1，解得a_n+1-a_n=

2

3

；②当n=1时，解得a₂-a₁=

2

3

，即为a_n+1-a_n=

2

3

，故得到数列的通项公式为a_n=

2n

3

．

解答：解：（1）由条件可得△P₁0Q₁为正三角形，且边长为a₁，所以P1(

1

2

a1，

3

2

a1)，P₁在曲线上，代入y²=x（y≥0）
得

3

4

a

2 1

=

1

2

a1，∵a₁＞0，∴a₁=

2

3

；
（2）∵S_n=a₁+a₂+…+a_n
∴根据题意容易求得点Pn+1(Sn+

1

2

an+1，

3

2

an+1)
代入曲线y²=x（y≥0）并整理得S_n=

3

4

a

2 n+1

-

1

2

an+1，
于是当n≥2，n∈N^*时，an=Sn-Sn-1=(

3

4

a

2 n+1

-

1

2

an+1)-(

3

4

a

2 n

-

1

2

an)
即

1

2

(an+1+an)=

3

4

(an+1+an)•(an+1-an)
∵a_n+1＞a_n＞0，∴a_n+1-a_n=

2

3

(n≥2，n∈N*)
又当n=1时，S₁=

3

4

a

2 2

-

1

2

a2，∴a2=

4

3

(-

2

3

舍去)
∴a₂-a₁=

2

3

，
故a_n+1-a_n=

2

3

(n∈N*)
综上所述：数列{a_n}是首项为

2

3

．公差为

2

3

的等差数列，即a_n=

2

3

n；

点评：此题比较新颖，是一道关于数列和函数的综合题，主要考查求解等差数列通项公式的方法，计算量比较大，要细心，平时多总结方法．