Question

9．已知函数f（x）=x³-3x
（1）求函数f（x）的单调区间，并求函数f（x）的极值；
（2）若方程x³-3x-a+1=0有三个相异的实数根，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）先求导数fˊ（x）然后在函数的定义域内解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0，fˊ（x）＞0的区间为单调增区间，fˊ（x）＜0的区间为单调减区间，从而求函数f（x）的极值；
（2）方程x³-3x-a+1=0即为方程x³-3x=a-1，令y=x³-3x和y=a-1，方程x³-3x-a+1=0有三个相异的实数根，转化为判断两个函数何时有三个不同交点的问题，数形结合，问题得解．

解答 解：（1）f'（x）=3x²-3由f'（x）=0解得x=±1…（2分）
列表如下：

x	（-∞，-1）	-1	（-1，1）	1	（1，+∞）
f'（x）	+	0	-	0	+
f（x）	↗	极大值f（-1）	↘	极小值f（1）	↗

所以函数的单调递增区间是（-∞，-1），（1，+∞）
单调递减区间是（-1，1）
函数的极大值是f（-1）=2，极小值是f（1）=-2                       …（6分）
（2）方程x³-3x-a+1=0即为方程x³-3x=a-1
令y=x³-3x和y=a-1，方程x³-3x-a+1=0有三个相异的实数根即上述两个函数的图象有三个不同的交点y=a-1是一条直线而y=x³-3x的图象大致如下：

如图要使两个函数的图象有三个不同的交点
则有：-2＜a-1＜2，解得：-1＜a＜3                                  …（12分）

点评 本题考查了函数的单调性，利用图象判断方程的根的个数．利用导数判断函数的单调性的步骤是：（1）确定函数的定义域；（2）求导数fˊ（x）；（3）在函数的定义域内解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0；（4）确定函数的单调区间．若在函数式中含字母系数，往往要分类讨论．