Question

17．已知sinα和cosα是方程x²-kx+k+1=0的两根，且π＜α＜2π，则α+k=$\frac{3π}{2}$-1．

Answer 1

分析 根据题意和韦达定理列出方程组，由平方关系化简联立列方程，求出k的值，最后要验证三角函数值的范围，即可求k，α．

解答 解：∵sinα和cosα是方程x²-kx+k+1=0的两根，
∴sinα+cosα=k，sinαcosα=k+1，
①平方得，1+2sinαcosα=k²，将②代入得，
k²-2k-3=0，解得k=3或-1，
当k=3时，sinαcosα=4，这与sinαcosα＜1矛盾，故舍去，
当k=-1时，经验证符合条件．
∴sinα+cosα=-1，sinαcosα=0，
∵π＜α＜2π，
∴α=$\frac{3π}{2}$．
∴α+k=$\frac{3π}{2}$-1．
故答案是：$\frac{3π}{2}$-1．

点评 本题考查了韦达定理（根与系数的关系），以及平方关系的灵活应用，主要验证三角函数值的范围．