Question

11．现有一倒放圆锥形容器，该容器深24m，底面直径为6m，水以5πm³/s的速度流入，则当水流入时间为1s时，水面上升的速度为$\frac{4\root{3}{15}}{3}$．

Answer 1

分析 由平行线分线段成比例得出水面的半径与水高的关系，由圆锥的体积公式求出水深与时间的函数关系，对水深求导即为水面上升的速度．

解答 解：设容器中水的体积在t分钟时为V，水深为h，则V=5πt，
由图知$\frac{r}{h}$=$\frac{3}{24}$=$\frac{1}{8}$
∴r=$\frac{1}{8}$h
∴V=$\frac{1}{3}$πr²h=$\frac{1}{192}$πh³，
∴5πt=$\frac{1}{192}$πh³，
∴h=4•$\root{3}{15}$•$\root{3}{t}$
∴v=h′（t）=4•$\frac{1}{3}$$\root{3}{15}$•${t}^{-\frac{2}{3}}$
∴v=$\frac{4\root{3}{15}}{3}$，
故答案为：$\frac{4\root{3}{15}}{3}$

点评 本题考查了圆锥的体积公式以及平行线分线段成比例定理和对水深求导即为水上升的速度等问题，是易错题．