定义:数列{an}对一切正整数n均满足$\frac{{{a n}+{a {n+2}}}}{2}$＞an+1.称数列{an}为“凸数列 .以下关于“凸数列的说法:①等差数列{an}一定是凸数列,②首项a1＞0.公比q＞0且q≠1的等比数列{an}一定是凸数列,③若数列{an}为凸数列.则数列{an+1-an}是单调递增数列,④若数列{an}为凸数列.则下标成等差数列� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网——

题目内容

4．定义：数列{a_n}对一切正整数n均满足$\frac{{{a_n}+{a_{n+2}}}}{2}$＞a_n+1，称数列{a_n}为“凸数列”，以下关于“凸数列”的说法：
①等差数列{a_n}一定是凸数列；
②首项a₁＞0，公比q＞0且q≠1的等比数列{a_n}一定是凸数列；
③若数列{a_n}为凸数列，则数列{a_n+1-a_n}是单调递增数列；
④若数列{a_n}为凸数列，则下标成等差数列的项构成的子数列也为凸数列．
其中正确说法的序号是②③④．

分析根据数列{a_n}为“凸数列”的定义，逐一分析四个结论的真假，可得答案．

解答解：等差数列{a_n}满足$\frac{{{a_n}+{a_{n+2}}}}{2}$=a_n+1，故不是凸数列，故①错误；
②首项a₁＞0，公比q＞0且q≠1的等比数列{a_n}，满足$\frac{{a}_{n}+{a}_{n+2}}{2}$＞$\sqrt{{a}_{n}•{a}_{n+2}}$=a_n+1，一定是凸数列，故②正确；
③若数列{a_n}为凸数列，则$\frac{{{a_n}+{a_{n+2}}}}{2}$＞a_n+1，
则a_n+a_n+2＞2a_n+1，
则a_n+2-a_n+1＞a_n+1-a_n，
即数列{a_n+1-a_n}是单调递增数列，故③正确；
④若数列{a_n}为凸数列，则下标成等差数列的项构成的子数列也为凸数列，故④正确；．
故答案为：②③④

点评本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了新概念“凸数列”，难度不大，属于中档题．

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