Question

7．有以下命题：
①如果向量$\overrightarrow a$，$\overrightarrow b$与任何向量不能构成空间向量的一组基底，那么$\overrightarrow a$，$\overrightarrow b$的关系是不共线；
②O，A，B，C为空间四点，且向量$\overrightarrow{OA}$，$\overrightarrow{OB}$，$\overrightarrow{OC}$不构成空间的一个基底，则点O，A，B，C一定共面；
③已知向量$\overrightarrow a$，$\overrightarrow b$，$\overrightarrow c$是空间的一个基底，则向量$\overrightarrow a$+$\overrightarrow b$，$\overrightarrow a$-$\overrightarrow b$，$\overrightarrow c$也是空间的一个基底；
④△ABC中，A＞B的充要条件是sinA＞sinB．
其中正确的命题个数是（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 ①空间向量的一组基底，必须满足两两不共线；
②向量$\overrightarrow{OA}$，$\overrightarrow{OB}$，$\overrightarrow{OC}$不构成空间的一个基底，则点O，A，B，C一定共面；
③不共线向量$\overrightarrow a$，$\overrightarrow b$，$\overrightarrow c$⇒向量$\overrightarrow a$+$\overrightarrow b$，$\overrightarrow a$-$\overrightarrow b$，$\overrightarrow c$也一定不共线；
④△ABC中，A＞B?sinA＞sinB．

解答 解：对于①，如果向量$\overrightarrow a$，$\overrightarrow b$与任何向量不能构成空间向量的一组基底，那么$\overrightarrow a$，$\overrightarrow b$的关系是共线，所以不正确．
对于②，O，A，B，C为空间四点，且向量$\overrightarrow{OA}$，$\overrightarrow{OB}$，$\overrightarrow{OC}$不构成空间的一个基底，那么点O，A，B，C一定共面；这是正确的．
对于③，已知向量$\overrightarrow a$，$\overrightarrow b$，$\overrightarrow c$是空间的一个基底，所以因为三个向量非零不共线，则向量$\overrightarrow a$+$\overrightarrow b$，$\overrightarrow a$-$\overrightarrow b$，$\overrightarrow c$也不共线，也是空间的一个基底，这是正确的．
对于④，△ABC中，A＞B?a＞b?2RsinA＞2RsinB?sinA＞sinB，所以正确．
故选：C．

点评 本题考查共线向量与共面向量及三角形边角关系，考查分析问题解决问题的能力，是基础题