Question

已知探照灯的轴截面是抛物线y²=x，下图所示为平行于对称轴y=0(即x轴)的光线在抛物线上的点P、Q的反射情况，设点P的纵坐标为a(a＞0),问a取何值时，从入射点P到反射点Q的光线的路程PQ最短.

Answer 1

分析：将光源置于抛物线镜面的焦点处，光线经抛物镜面反射成一束平行光束.因此，入射线与反射线成平行状态，那么光线必过焦点F.

解：由题设P(a²,a)，故直线PQ的方程为

y=(x-),

    即4ax-(4a²-1)y-a=0.

    解方程组

    得y=-,y=a.

    由此可知点Q(,-).

∴|PQ|=|PF|+|FQ|=a²++≥2+=1.

    当且仅当a²=，即a=时，上式等号成立.

    这时a=，入射点为(,),反射点为(,-).这时P、Q关于x轴对称.