Question

16．设两个非零向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$满足：（$\sqrt{2}$$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$）⊥$\overrightarrow{b}$，且集合A={x|x²+（|$\overrightarrow{a}$|+|$\overrightarrow{b}$|）x+|$\overrightarrow{a}$||$\overrightarrow{b}$|=0}是单元素集合，则＜$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$＞=$\frac{π}{4}$．

Answer 1

分析 由（$\sqrt{2}$$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$）⊥$\overrightarrow{b}$，得$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}=\frac{\sqrt{2}}{2}$$|\overrightarrow{b}{|}^{2}$，再由集合A={x|x²+（|$\overrightarrow{a}$|+|$\overrightarrow{b}$|）x+|$\overrightarrow{a}$||$\overrightarrow{b}$|=0}是单元素集合，利用判别式等于0可得|$\overrightarrow{a}$|=|$\overrightarrow{b}$|，代入数量积求夹角公式可得＜$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$＞．

解答 解：由（$\sqrt{2}$$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$）⊥$\overrightarrow{b}$，得（$\sqrt{2}$$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$）•$\overrightarrow{b}$=$\sqrt{2}\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}-|\overrightarrow{b}{|}^{2}=0$，
即$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}=\frac{\sqrt{2}}{2}$$|\overrightarrow{b}{|}^{2}$．
∵集合A={x|x²+（|$\overrightarrow{a}$|+|$\overrightarrow{b}$|）x+|$\overrightarrow{a}$||$\overrightarrow{b}$|=0}是单元素集合，
∴$（|\overrightarrow{a}|+|\overrightarrow{b}|）^{2}-4|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|=（|\overrightarrow{a}|-|\overrightarrow{b}|）^{2}=0$，即|$\overrightarrow{a}$|=|$\overrightarrow{b}$|，
∴cos＜$\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}$＞=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|}=\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}|\overrightarrow{b}{|}^{2}}{|\overrightarrow{b}{|}^{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
∴＜$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$＞=$\frac{π}{4}$．
故答案为：$\frac{π}{4}$．

点评 本题考查平面向量的数量积运算，训练了利用数量积求向量的夹角，是中档题．