Question

16．已知函数f（x）=$\frac{2}{3}$x³+ax²+ax+1有两个极值点x₁，x₂且x₁＜x₂
（1）求a的取值范围；
（2）若f（x₁）+f（x₂）＞$\frac{2}{3}$，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，问题转化为f′（x）=2x²+2ax+a有2个零点，根据二次函数的性质得到关于a的不等式，解出即可；
（2）x₁+x₂=-a，x₁•x₂=$\frac{a}{2}$，代入f（x₁）+f（x₂）整理得到关于a的不等式，解出即可．

解答 解：（1）函数f（x）=$\frac{2}{3}$x³+ax²+ax+1有两个极值点x₁，x₂，
则f′（x）=2x²+2ax+a有2个零点，
则△=4a²-8a＞0，
解得：a＞2或a＜0；
（2）由（1）x₁+x₂=-a，x₁•x₂=$\frac{a}{2}$，
f（x₁）+f（x₂）
=$\frac{2}{3}$（${{x}_{1}}^{3}$+${{x}_{2}}^{3}$）+a（${{x}_{1}}^{2}$+${{x}_{2}}^{2}$）+a（x₁+x₂）+2
=$\frac{2}{3}$（x₁+x₂）[${{（x}_{1}{+x}_{2}）}^{2}$-3x₁x₂]+a[${{（x}_{1}{+x}_{2}）}^{2}$-2x₁x₂]+a（x₁+x₂）+2
=-$\frac{2}{3}$a（a²-$\frac{3}{2}$a）+a（a²-a）-a²+2＞$\frac{2}{3}$，
整理得：a³-3a²+4＞0，
即（a+1）（a-2）²＞0，
解得：a＞-1且a≠2，
结合（1）a＞2或a＜0；
综上：a＞2或-1＜a＜0．

点评 本题考查了导数的应用，二次函数的性质以及解不等式问题，是一道中档题．