Question

12．已知E，F分别是棱长为1的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱BC，CC₁的中点，则截面AEFD₁与底面ABCD所成二面角的正弦值是$\frac{\sqrt{5}}{3}$．

Answer 1

分析 以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD₁为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出截面AEFD₁与底面ABCD所成二面角的正弦值．

解答 解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD₁为z轴，建立空间直角坐标系，
A（1，0，0），E（$\frac{1}{2}，1，0$），F（0，1，$\frac{1}{2}$），
$\overrightarrow{AE}$=（-$\frac{1}{2}$，1，0），$\overrightarrow{AF}$=（-1，1，$\frac{1}{2}$），
设平面AEFD₁的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AE}=-\frac{1}{2}x+y=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AF}=-x+y+\frac{1}{2}z=0}\end{array}\right.$，取x=2，得$\overrightarrow{n}$=（2，1，2），
平面ABCD的法向量$\overrightarrow{m}$=（0，0，1），
截面AEFD₁与底面ABCD所成二面角为θ，
cosθ=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{2}{3}$，
∴sinθ=$\sqrt{1-（\frac{2}{3}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{5}}{3}$．
∴截面AEFD₁与底面ABCD所成二面角的正弦值是$\frac{\sqrt{5}}{3}$．
故答案为：$\frac{{\sqrt{5}}}{3}$．

点评 本题考查二面角的正弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．