Question

8．将函数f（x）=$\sqrt{3}$sinωx+cosωx（ω＞0）的图象向右平移$\frac{π}{4}$个单位，得到函数g（x）的图象，函数g（x）的相邻的两个极值点的距离等于$\frac{π}{2}$，则g（x）的单调递减区间是（　　）

• A． [kπ+$\frac{5π}{12}$，kπ+$\frac{11π}{12}$]，k∈Z
• B． [kπ+$\frac{π}{12}$，kπ+$\frac{5π}{12}$]，k∈Z
• C． [2kπ+$\frac{5π}{12}$，2kπ+$\frac{11π}{12}$]，k∈Z
• D． [2kπ-$\frac{π}{12}$，2kπ+$\frac{5π}{12}$]，k∈Z

Answer 1

分析 由条件利用两角和的正弦公式、y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的周期性，求得g（x）的解析式，再利用正弦函数的单调性求得g（x）的单调递减区间．

解答 解：把函数f（x）=$\sqrt{3}$sinωx+cosωx=2sin（ωx+$\frac{π}{6}$）的图象向右平移$\frac{π}{4}$个单位，
得到函数g（x）=2sin[ω（x-$\frac{π}{4}$）+$\frac{π}{6}$]=2sin（ωx+$\frac{π}{6}$-$\frac{ωπ}{4}$） 的图象，
由函数g（x）的相邻的两个极值点的距离等于$\frac{π}{2}$，可得函数的周期为$\frac{2π}{ω}$=π，
求得ω=2，g（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$-$\frac{ωπ}{4}$）=2cos（2x-$\frac{π}{3}$）．
令2kπ+$\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$，求得 kπ+$\frac{5π}{12}$≤x≤kπ+$\frac{11π}{12}$，
可得g（x）的单调递减区间是[kπ+$\frac{5π}{12}$，kπ+$\frac{11π}{12}$]，k∈Z，
故选：A．

点评 本题主要考查两角和的正弦公式、y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的周期性、单调性，属于基础题．