Question

3．已知四棱锥的底面是边长为2的正方形，其俯视图所示：则下列命题中正确的是（　　）

• A． 四棱锥四个侧面中不存在两组侧面互相垂直
• B． 四棱锥的四个侧面可能全是直角三角形
• C． 若该四棱锥的左视图为直角三角形，则体积为$\frac{4}{3}$
• D． 若该四棱锥的正视图为等腰三角形，则四棱锥的侧面积为6+2$\sqrt{2}$+2$\sqrt{5}$

Answer 1

分析 作出棱锥的直观图，根据各选项的条件通过计算或证明进行判断．

解答 解由俯视图可知四棱锥的顶点P在底面的射影为BD的中点O，
（1）由PO⊥平面ABCD可得PO⊥BC，
又BC⊥CD，CD，PO?平面PCD，CD∩PO=O，
∴BC⊥平面PCD，
∴平面PBC⊥平面PCD．故A错误．
（2）由BC⊥平面PCD可得BC⊥PC，
∴PB≠PC．
∵PC=PD，PA=PC，
∴若三棱锥的四个侧面为直角三角形，则PC⊥PD，PA⊥PB，又AB=CD，
∴PB=PC=$\sqrt{2}$，与PB≠PC矛盾．故B错误．
（3）若棱锥的左视图为直角三角形，则△PCD是直角三角形，
∴PC=PD=$\sqrt{2}$，∴PO=$\frac{1}{2}CD$=1，
∴V=$\frac{1}{3}{S}_{正方形ABCD}•PO$=$\frac{4}{3}$．故C正确．
（4）若四棱锥的正视图为等腰三角形，则PO=BC=2，
∴PC=PD=$\sqrt{5}$，∴S_△PCD=$\frac{1}{2}CD×PO$=$\frac{1}{2}×2×2$=2，
S_△PBC=S_△PAD=$\frac{1}{2}BC×PC$=$\frac{1}{2}×2×\sqrt{5}$=$\sqrt{5}$．
过P作PM⊥AB于M，则M为AB的中点，连结OM，则OM=BC=2，
∴PM=$\sqrt{P{O}^{2}+O{M}^{2}}$=2$\sqrt{2}$．
∴S_△PAB=$\frac{1}{2}AB×PM$=$\frac{1}{2}×2×2\sqrt{2}$=2$\sqrt{2}$，
∴四棱锥的侧面积为2+2$\sqrt{5}$+2$\sqrt{2}$，故D错误．
故选C．

点评 本题考查了棱锥的结构特征，棱锥的三视图，位置关系判断和体积计算，属于中档题．