Question

3．数列{a_n}的各项均为正数，其前n项和为S_n，已知$\frac{n{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$$-\frac{（n+1）{a}_{n}}{{a}_{n+1}}$=1，且a₁=$\frac{π}{3}$，则tanS_n的取值集合是（　　）

• A． {0，$\sqrt{3}$}
• B． {0，$\sqrt{3}$，$\frac{\sqrt{3}}{3}$}
• C． {0，$\sqrt{3}$，-$\frac{\sqrt{3}}{3}$}
• D． {0，$\sqrt{3}$，-$\sqrt{3}$}

Answer 1

分析 已知$\frac{n{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$$-\frac{（n+1）{a}_{n}}{{a}_{n+1}}$=1，化为[na_n+1-（n+1）a_n]（a_n+1+a_n）=0，a_n，a_n+1＞0．可得$\frac{{a}_{n+1}}{n+1}=\frac{{a}_{n}}{n}$．可得a_n=$\frac{π}{3}$×n．S_n．可得tanS_n=tan[$\frac{π}{3}×\frac{n（n+1）}{2}$]，对n分类讨论即可得出．

解答 解：∵$\frac{n{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$$-\frac{（n+1）{a}_{n}}{{a}_{n+1}}$=1，∴na${\;}_{n+1}^{2}$=（n+1）a${\;}_{n}^{2}$+a_na_n+1，∴[na_n+1-（n+1）a_n]（a_n+1+a_n）=0，a_n，a_n+1＞0．
∴na_n+1-（n+1）a_n=0，即$\frac{{a}_{n+1}}{n+1}=\frac{{a}_{n}}{n}$．
∴$\frac{{a}_{n}}{n}$=…=$\frac{{a}_{1}}{1}$=$\frac{π}{3}$．
∴a_n=$\frac{π}{3}$×n．
∴S_n=$\frac{π}{3}×\frac{n（n+1）}{2}$．
∴tanS_n=tan[$\frac{π}{3}×\frac{n（n+1）}{2}$]，
n=3k∈N^*时，tanS_n=$tan\frac{k（3k+1）π}{2}$=0；
n=3k-1∈N^*时，tanS_n=tan$\frac{k（3k-1）π}{2}$=0；
n=3k-2∈N^*时，tanS_n=tan$\frac{（3k-2）（3k-1）}{6}$π=$\sqrt{3}$．
综上可得：tanS_n的取值集合是{0，$\sqrt{3}$}．
故选：A．

点评 本题考查了因式分解方法、等差数列的通项公式与求和公式、三角函数求值、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．