Question

7．某公司的广告费支出x与销售额y（单位：万元）之间有下列对应数据

x	2	4	5	6	8
y	30	40	60	50	70

回归方程为$\hat y$=bx+a，其中b=$\frac{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}{y}_{i}-n\overline{x}\overline{y}}{\sum_{i=1}^{n}{{x}_{i}}^{2}-n{\overline{x}}^{2}}$，a=$\overline y$-b$\overline x$．
（1）画出散点图，并判断广告费与销售额是否具有相关关系；
（2）根据表中提供的数据，求出y与x的回归方程$\hat y$=bx+a；
（3）预测销售额为115万元时，大约需要多少万元广告费．

Answer 1

分析 （1）散点图如图：由图可判断：广告费与销售额具有相关关系．
（2）先求出$\overline{x}$、$\overline{y}$的值，可得 $\sum_{i=1}^5{{x_i}{y_i}}$ 和$\sum_{i=1}^5{x_i^2}$  的值，从而求得 $b=\frac{{\sum_{i=1}^5{{x_i}{y_i}-n\overline x\overline y}}}{{\sum_{i=1}^5{x_i^2-n\overline{x^2}}}}$和，$a=\overline y-b\overline x$的值，从而求得线性回归方程．
（3）在回归方程中，令y=115，求得x的值，可得结论．

解答 解：（1）散点图如图：由图可判断：广告费与销售额具有相关关系．
（2）∵$\overline x=\frac{1}{5}（2+4+5+6+8）=5$，$\overline y=\frac{1}{5}（30+40+60+50+70）=50$，
∴$\sum_{i=1}^5{{x_i}{y_i}}$=2×30+4×40+5×60+6×50+8×70=1380，$\sum_{i=1}^5{x_i^2}$=2²+4²+5²+6²+8²=145，
∴$b=\frac{{\sum_{i=1}^5{{x_i}{y_i}-n\overline x\overline y}}}{{\sum_{i=1}^5{x_i^2-n\overline{x^2}}}}$=$\frac{1380-5×5×50}{{145-5×{5^2}}}$=6.5，$a=\overline y-b\overline x$=50-6.5×5=17.5，
∴线性回归方程为 y=6.5x+17.5．
（3）令y=115，可得6.5×x+17.5=115，求得x=15，故预测销售额为115万元时，
大约需要15万元广告费．

点评 本题主要考查线性回归问题，求回归直线的方程，以及回归方程的应用，属于中档题．