Question

已知函数y=Asin(ωx+φ)(A＞0，ω＞0，|φ|＜

π

2

)的图象的一个最高点为（3，4）由这个最高点到相邻最低点，图象与x轴交于（7，0）点．
（1）试求函数的解析式．
（2）作出这个函数在一个周期内的图象
（3）求函数的最小正周期，并写出函数图象的对称轴以及对称中心．

Answer 1

考点：五点法作函数y=Asin（ωx+φ）的图象

专题：函数的性质及应用,三角函数的图像与性质

分析：（1）由已知中函数图象的最高点坐标及与x轴的坐标，先确定A值及周期，进而可得ω值和φ值，进而可得函数的解析式；
（2）根据（1）中函数的解析式，描出函数图象上几个关键点的坐标，进而可得函数在一个周期上的草图；
（3）根据（1）中函数的解析式，及正弦型函数的图象和性质，可得函数图象的对称轴以及对称中心．

解答：解：（1）由图象最高点（3，4）知A=4．
又由题意知从最高点到相邻最低点相交x轴于（7，0），
∴

T

4

=7-3=4，
即T=16．
∴ω=

2π

T

=

π

8

．
∴y=4sin（

π

8

x+φ）…（2分）
代入最高点坐标，得4=4sin(

π

8

×3+φ)sin(

3π

8

+φ)=1，
即

3π

8

+φ=2kπ+

π

2

，k∈Z，
∵|φ|＜

π

2

，
∴φ=

π

8

，…（8分）
∴函数解析式为y=4sin(

πx

8

+

π

8

)．…（4分）
（2）函数在一个周期内的图象如下图所示：
..（8分）

（3）由（1）知y=f(x)=4sin(

πx

8

+

π

8

)，
f(x+16)=4sin(

π(x+16)

8

+

π

8

)=4sin[(

πx

8

+

π

8

)+2π]=4sin(

πx

8

+

π

8

)=f(x)
∴函数f（x）的最小正周期为16，…（10分）
∴函数图象的对称轴方程为：x=8k+3，k∈Z．
对称中心为：（8k-1，0），k∈Z．…（12分）

点评：本题考查的知识点是五点法作函数y=Asin（ωx+φ）的图象，正弦型函数的图象和性质，降次公式和辅导角公式（和差角公式），熟练掌握正弦形函数的图象和性质，是解答的关键．