Question

11．已知y=f（x）是定义在 R 上的奇函数，且y=f（x+$\frac{π}{2}$）为偶函数，对于函数y=f（x）有下列几种描述：
①y=f（x）是周期函数；
②x=π是它的一条对称轴；
③（-π，0）是它图象的一个对称中心；
④x=$\frac{π}{2}$是它的一条对称轴． 
其中描述正确的是①③④．

Answer 1

分析 根据函数的奇偶性和对称性对每一个选支进行逐一判定即可．

解答 解：∵y=f（x+$\frac{π}{2}$）为偶函数，
∴f（-x+$\frac{π}{2}$）=f（x+$\frac{π}{2}$），对称轴为x=$\frac{π}{2}$，
而y=f（x）是定义在R上的奇函数
∴f（-x+$\frac{π}{2}$）=-f（x-$\frac{π}{2}$）=f（x+$\frac{π}{2}$）
即f（x+$\frac{π}{2}$）=-f（x-$\frac{π}{2}$），
f（x+π）=-f（x），f（x+2π）=f（x）
∴y=f（x）是2π为最小正周期的周期函数，故①正确，
x=$\frac{π}{2}$+2kπ（k∈Z）是它的对称轴，故②不正确，④正确，
（-π，0）是它图象的一个对称中心，故③正确
故答案为：①③④．

点评 本题主要考查了函数奇偶性的性质、对称性、周期性等有关基础知识，同时考查了转化与划归的数学思想，属于基础题．