Question

设S_n是等比数列{a_n}的前n项和，S₃，S₉，S₆成等差数列，且a₂+a₅=2a_m，则m=______．

Answer 1

∵S_n是等比数列{a_n}的前n项和，且S₃，S₉，S₆成等差数列，
∴2S₉=S₃+S₆，即

2a1(1-q9)

1-q

=

a1(1-q3)

1-q

+

a1(1-q6)

1-q

，
整理得：2（1-q⁹）=1-q³+1-q⁶，即1+q³=2q⁶，
又a₂+a₅=a₁q+a₁q⁴=a₁q（1+q³）=2a₁q⁷，2a_m=2a₁q^m-1，且a₂+a₅=2a_m，
∴2a₁q⁷=2a₁q^m-1，即m-1=7，
则m=8．
故答案为：8