Question

5．已知数列{a_n}的前n项和公式是${S_n}={3^n}-1$，
（1）求{a_n}的通项公式；
（2）证明{a_n}是等比数列．

Answer 1

分析 （1）需要分类讨论，：n=1和n＞1两种情况下的{a_n}的通项公式；
（2）欲证明{a_n}是等比数列，只需推知该数列的首项和公比即可．

解答 解：（1）∵数列{a_n}的前n项和S_n=3ⁿ-1，
∴a_n=S_n-S_n-1=（3ⁿ-1）-（3^n-1-1）=2•3^n-1，n≥2，
∵n=1时，a₁=S₁也适合上式，
∴a_n=2•3^n-1．（n∈N^*）；
（2）证明：由（1）得$\frac{{{a_{n+1}}}}{a_n}$=$\frac{2×{3}^{n}}{2×{3}^{n-1}}$=3，
又a₁=2．
∴数列{a_n}是首项为2，公比为3的等比数列．

点评 本题考查等比关系的确定与等差数列的性质，考查等比数列的求和公式，考查运算与推理、证明的能力，属于中档题．