Question

已知函数，.

（1）如果函数在上是单调增函数，求a的取值范围；

（2）是否存在实数，使得方程在区间内有且只有两个不相等的实数根？若存在，请求出a的取值范围，若不存在，请说明理由.

Answer 1

解：（1）当时，函数在上是单调增函数，符合题意。

          当时，的对称轴方程为，

由于在上是单调增函数，所以，

解得：，所以.

  当时，不符合题意.

综上，a的取值范围是.

（2）把方程整理为

即

设

原方程在区间内有且只有两个不相等的实数根，即为函数在区间内有且只有两个零点.

令，因为，解得或（舍），

当时，，函数是减函数；

当时，，函数是增函数.

在区间内有且只有两个零点，只需

     即    

所以，，所以a的取值范围为