Question

19．已知集合A={$\frac{1}{2015}$，$\frac{1}{2014}$，$\frac{1}{2013}$，…，$\frac{1}{2}$，1，2，…，2013，2014，2015}，在映射f：x→$\frac{{x}^{2}}{1+{x}^{2}}$的作用下得到集合B．求集合B中所有元素之和．

Answer 1

分析 由f（x）=$\frac{{x}^{2}}{1+{x}^{2}}$，可得f（x）+$f（\frac{1}{x}）$=1，f（1）=$\frac{1}{2}$．即可得出．

解答 解：B={$f（\frac{1}{2015}）$，$f（\frac{1}{2014}）$，…，$f（\frac{1}{2}）$，f（1），f（2），…，f（2014），f（2015）}．
f（x）=$\frac{{x}^{2}}{1+{x}^{2}}$，
∵f（x）+$f（\frac{1}{x}）$=$\frac{{x}^{2}}{1+{x}^{2}}$+$\frac{\frac{1}{{x}^{2}}}{1+\frac{1}{{x}^{2}}}$=1，f（1）=$\frac{1}{2}$．
∴集合B中所有元素之和=1×2014+$\frac{1}{2}$=$\frac{4029}{2}$．

点评 本题考查了集合的性质、函数求值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．