Question

11．设函数f（x）=msinx+cosx（x∈R）的图象经过点（$\frac{π}{2}$，-1）
（1）求f（x）的解析式，并求函数的单调递增区间；
（2）若g（x）=f（x）+1，且x∈[0，π]时，求函数g（x）的最小值及此时x的取值集合．

Answer 1

分析 （1）根据函数图象过点（$\frac{π}{2}$，-1），求得m的值，可得函数的解析式，利用正弦函数的单调性求得函数的增区间．
（2）由条件利用正弦函数的定义域和值域，求得函数g（x）的最小值及此时x的取值集合．

解答 解：（1）∵函数f（x）=msinx+cosx（x∈R）的图象经过点（$\frac{π}{2}$，-1），∴m+0=-1，即m=-1，
∴f（x）=-sinx+cosx=-$\sqrt{2}$sin（x-$\frac{π}{4}$）．
令2kπ+$\frac{π}{2}$≤x-$\frac{π}{4}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$，求得2kπ+$\frac{3π}{4}$≤x-$\frac{π}{4}$≤2kπ+$\frac{7π}{4}$，可得函数的增区间为[2kπ+$\frac{3π}{4}$，2kπ+$\frac{7π}{4}$]，k∈Z．
（2）x∈[0，π]时，x-$\frac{π}{4}$∈[-$\frac{π}{4}$，$\frac{3π}{4}$]，sin（x-$\frac{π}{4}$）∈[-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，1]，
∴当sin（x-$\frac{π}{4}$）=1时，函数g（x）=1-$\sqrt{2}$sin（x-$\frac{π}{4}$） 取得最小值为1-$\sqrt{2}$，
此时，由sin（x-$\frac{π}{4}$）=1，可得x取值的集合为{x|x=$\frac{3π}{4}$}．

点评 本题主要考查正弦函数的图象的特征，正弦函数的单调性、定义域和值域，属于基础题．