Question

已知曲线C₁：ρ=2sinθ，曲线C2：

x=- 3 5 t+2 y= 4 5 t

（t为参数）
（I）化C₁为直角坐标方程，化C₂为普通方程；
（II）若M为曲线C₂与x轴的交点，N为曲线C₁上一动点，求|MN|的最大值．

Answer 1

分析：（I） 利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ²=x²+y²，进行代换即得C₁为直角坐标方程；消去参数t得曲线C₂的普通方程．
（II）先在直角坐标系中算出曲线C₂与x轴的交点的坐标，再利用直角坐标中结合圆的几何性质即可求|MN|的最大值．

解答：解：（I）曲线C₁的极坐标化为ρ²=2ρsinθ
又x²+y²=ρ²，x=ρcosθ，y=ρsinθ
所以曲线C₁的直角坐标方程x²+y²-2y=0
因为曲线C₂的参数方程是

x=- 3 5 t+2 y= 4 5 t

，
消去参数t得曲线C₂的普通方程4x+3y-8=0
（II）因为曲线C₂为直线y=-

4

3

(x-2)
令y=0，得x=2，即M点的坐标为（2，0）
曲线C₁为圆，其圆心坐标为C₁（0，1），半径r=1，则|MC1|=

5

∴|MN|≤|MC1|+r=

5

+1，|MN|的最大值为

5

+1

点评：本题考查点的极坐标和直角坐标的互化及参数方程与普通方程的互化，能在直角坐标系中利用圆的几何性质求出最值，属于基础题．