Question

5．已知a，b，c∈R₊，用综合法证明：
（1）（ab+a+b+1）（ab+ac+bc+c²）≥16abc；
（2）2（a³+b³+c³）≥a²（b+c）+b²（a+c）+c²（a+b）

Answer 1

分析 （1）运用因式分解和均值不等式，结合不等式的可乘性，即可得证；
（2）由作差法，运用因式分解，可得a³+b³≥a²b+b²a；同理可得b³+c³≥b²c+c²b；c³+a³≥c²a+a²c．相加即可得证．

解答 证明：（1）由a，b，c∈R₊，可得
ab+a+b+1=（a+1）（b+1）≥2$\sqrt{a}$•2$\sqrt{b}$=4$\sqrt{ab}$，
ab+ac+bc+c²=（a+c）（b+c）≥2$\sqrt{ac}$•2$\sqrt{bc}$=4c$\sqrt{ab}$，
两式相乘可得，（ab+a+b+1）（ab+ac+bc+c²）≥16abc，
当且仅当a=b=c=1，取得等号；
（2）由a，b，c＞0，可得
a³+b³-a²b-b²a=a²（a-b）-b²（a-b）=（a-b）²（a+b）≥0，
即为a³+b³≥a²b+b²a；
同理可得b³+c³≥b²c+c²b；
c³+a³≥c²a+a²c．
以上三式相加可得，
2（a³+b³+c³）≥a²（b+c）+b²（a+c）+c²（a+b），
当且仅当a=b=c，取得等号．

点评 本题考查不等式的证明，注意运用综合法证明，运用均值不等式和作差法，以及不等式的性质，考查推理能力，属于中档题．