Question

已知函数.

（1）求曲线在点（1，0）处的切线方程；

（2）设函数，其中，求函数在上的最小值.(其中为自然对数的底数)

 

Answer 1

（1）

（2）当时，的最小值为0；

当时，的最小值为；

当时，的最小值为 ．

【解析】

试题分析：利用导数的几何意义求曲线在点处的切线方程，注意这个点的切点.（2）解决类似的问题时，注意区分函数的最值和极值.求函数的最值时，要先求函数在区间内使的点，再计算函数在区间内所有使的点和区间端点处的函数值，最后比较即得.（3）分类讨论是学生在学习过程中的难点，要找好临界条件进行讨论.

试题解析：（1）由，得切线的斜率为．

又切线过点，所以直线的方程为 4分

（2），则

令，得；令，得 ，

所以在上单调递减，在上单调递增

①当，即时，在上单调递增，

所以在上的最小值为

②当，即时，在上单调递减，在上单调递增．

在上的最小值为

③当，即时，在上单调递减，

所以在上的最小值为．

综上：当时，的最小值为0；

当时，的最小值为；

当时，的最小值为． 12分

考点：（1）利用导数求切线方程；（2）利用导数求函数的最值.