Question

10．如图所示，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=3，BC=4，AB=5，AA₁=4，点D是AB的中点．
（1）求证：AC⊥BC₁；
（2）求证：AC₁∥平面CDB₁；
（3）求二面角A-BC₁-C的平面角的正切值．

Answer 1

分析 （1）推导出CC₁⊥AC，AC⊥BC，从而AC⊥平面BCC₁B₁．由此能证明AC⊥BC₁．
（2）设CB₁与C₁B的交点为E，连接DE，则DE∥AC₁．由此能证明AC₁∥平面CDB₁．
（3）设CB₁与BC₁交于点H，连接AH，则∠AHC即为二面角A-BC₁-C的平面角．由此能求出二面角A-BC₁-C的平面角的正切值．

解答 （本小题满分12分）（若用向量法给相应的分数）
证明：（1）∵三棱柱是ABC-A₁B₁C₁直三棱柱，
∴CC₁⊥AC，
∵AC=3，BC=4，AB=5，
∴三角形ABC是直三角形，且AC⊥BC，
∵CC₁∩BC=C，∴AC⊥平面BCC₁B₁．
∵BC₁?平面BCC₁B，∴AC⊥BC₁．…（4分）
（2）设CB₁与C₁B的交点为E，连接DE，
又四边形BCC₁B₁为正方形．
∵D是AB的中点，E是BC₁的中点，∴DE∥AC₁．
∵DE?平面CDB₁，AC₁?平面CDB₁，∴AC₁∥平面CDB₁．…（8分）
解：（3）由已知可得AB=AC₁=5，CB=CC₁=4，
设CB₁与BC₁交于点H，连接AH，
则AH⊥BC₁，CH⊥BC₁，
∴∠AHC即为二面角A-BC₁-C的平面角．
由（1）可知AC⊥CH，
∴在Rt△AHC中，$tan∠AHC=\frac{AC}{CH}=\frac{3}{{2\sqrt{2}}}=\frac{{3\sqrt{2}}}{4}$．
即二面角A-BC₁-C的平面角的正切值为$\frac{{3\sqrt{2}}}{4}$．…（12分）

点评 本题考查线线垂直、线面平行的证明，考查二面角的正切值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．