Question

已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为，短轴长为4．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）P（2，n），Q（2，-n）是椭圆C上两个定点，A、B是椭圆C上位于直线PQ两侧的动点．
①若直线AB的斜率为，求四边形APBQ面积的最大值；
②当A、B两点在椭圆上运动，且满足∠APQ=∠BPQ时，直线AB的斜率是否为定值，说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）利用椭圆中的相关定义和方程，求解a，b．
（Ⅱ）设直线方程，将直线方程和椭圆方程联立，通过消元，转化为一元二次方程去解决．
解答：解：（Ⅰ）设C方程为
由已知b=2，离心率 …（3分）
得a=4，所以，椭圆C的方程为…（4分）
（Ⅱ）①由（Ⅰ）可求得点P、Q的坐标为P（2，3）．Q（2，-3），则|PQ|=6，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直线AB的方程为，代入，
得x²+tx+t²-12=0 由△＞0，解得-4＜t＜4，由根与系数的关系得，
四边形APBQ的面积…（6分）
故，当t=0时，…（7分）
②∠APQ=∠BPQ时，PA、PB的斜率之和为0，设直线PA的斜率为k，
则PB的斜率为-k，PA的直线方程为y-3=k（x-2）与，
联立解得（3+4k²）x²+8（3-2k）kx+4（3-2k）²-48=0，．…（9分）
同理PB的直线方程y-3=-k（x-2），可得
所以，…（11分）==，
所以直线AB的斜率为定…（13分）
点评：本题主要考查了椭圆的方程和性质，以及直线与椭圆的位置关系，运算量较大，综合性较强．