Question

过以AB为直径的圆上C点作直线交圆于E点，交AB延长线于D点，过C点作圆的切线交AD于F点，交AE延长线于G点，且GA=GF．
（Ⅰ）求证CA=CD；
（Ⅱ）设H为AD的中点，求证BH•BA=BF•BD．

Answer 1

考点：与圆有关的比例线段

专题：立体几何

分析：（I）由于GF是圆的切线，可得∠CGE=∠GAC，可得∠DCF=∠GAC．由GA=GF，可得∠GAF=∠AFG．再利用三角形的外角定理即可证明．
（II）连接CH，CB．由CA=CB，AB=BD．可得CH⊥AD．利用射影定理可得CB²=BH•BA．利用△BCF∽△BDC．可得

BC

BD

=

BF

BC

，即可证明．

解答： （I）解：∵GF是圆的切线，∴∠CGE=∠GAC，
又∵∠CGE=∠DCF，
∴∠DCF=∠GAC．
∵GA=GF，
∴∠GAF=∠AFG．
又∠GAF=∠GAC+∠CAF，∠AFG=∠D+∠DCF，
∴∠CAF=∠D．
∴CA=CD．
（II）证明：连接CH，CB．
∵CA=CB，AB=BD．
∴CH⊥AD．
由AB为圆的直径，∴∠ACB=90°，
∴CB²=BH•BA．
∵∠BCF=∠CAB=∠D，
∴△BCF∽△BDC．
∴

BC

BD

=

BF

BC

，
∴BC²=BF•BD，
∴BH•BA=BF•BD．

点评：本题考查了三角形的外角定理、圆的弦切角定理、圆的性质、等腰三角形的性质、射影定理、三角形相似的性质定理，考查了推理能力，属于中档题．