Question

1．在边长为1的正方形ABCD中，向量$\overrightarrow{DE}=\frac{1}{2}\overrightarrow{DC}，\overrightarrow{BF}=\frac{1}{3}\overrightarrow{BC}$，则向量$\overrightarrow{AE}，\overrightarrow{AF}$的夹角为$\frac{π}{4}$．

Answer 1

分析 建立平面直角坐标系，利用坐标表示出$\overrightarrow{AE}$、$\overrightarrow{AF}$，求出它们的夹角即可．

解答 解：建立平面直角坐标系如图所示，
∵边长AB=1，向量$\overrightarrow{DE}=\frac{1}{2}\overrightarrow{DC}，\overrightarrow{BF}=\frac{1}{3}\overrightarrow{BC}$，
∴A（0，0），E（$\frac{1}{2}$，1），F（1，$\frac{1}{3}$）；
∴$\overrightarrow{AE}$=（$\frac{1}{2}$，1），$\overrightarrow{AF}$=（1，$\frac{1}{3}$），
$\overrightarrow{AE}$•$\overrightarrow{AF}$=$\frac{1}{2}$×1+1×$\frac{1}{3}$=$\frac{5}{6}$，
|$\overrightarrow{AE}$|=$\sqrt{{（\frac{1}{2}）}^{2}{+1}^{2}}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，
|$\overrightarrow{AF}$|=$\sqrt{{1}^{2}{+（\frac{1}{3}）}^{2}}$=$\frac{\sqrt{10}}{3}$；
∴cos＜$\overrightarrow{AE}$，$\overrightarrow{AF}$＞=$\frac{\overrightarrow{AE}•\overrightarrow{AF}}{|\overrightarrow{AE}|×|\overrightarrow{AF}|}$=$\frac{\frac{5}{6}}{\frac{\sqrt{5}}{2}×\frac{\sqrt{10}}{3}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴向量$\overrightarrow{AE}，\overrightarrow{AF}$的夹角为$\frac{π}{4}$．
故答案为：$\frac{π}{4}$．

点评 本题考查了平面向量的夹角问题，利用坐标法求解较方便些，是基础题．