Question

6．已知函数$f（x）={x^3}+\frac{5}{2}{x^2}+ax+b（{a，b∈R}）$，函数f（x）的图象记为曲线C．
（1）若函数f（x）在x=-1时取得极大值2，求a，b的值；
（2）若函数$F（x）=2f（x）-\frac{5}{2}{x^2}-（{2a-1}）x-3b$存在三个不同的零点，求实数b的取值范围；
（3）设动点A（x₀，f（x₀））处的切线l₁与曲线 C交于另一点B，点B处的切线为l₂，两切线的斜率分别为k₁，k₂，当a为何值时存在常数λ使得k₂=λk₁？并求出λ的值．

Answer 1

分析 （1）求出导数，由题意可得f'（-1）=0，f（-1）=2，解方程可得a，b的值；
（2）由题意可得方程2x³+$\frac{5}{2}$x²+x-b=0有三个实数解．令g（x）=2x³+$\frac{5}{2}$x²+x，求出导数和单调区间，可得极值，即可得到b的范围；
（3）求出动点A（x₀，f（x₀））处的切线l₁与曲线 C交于另一点B的横坐标，k₂=λk₁等价于$（3{x_0}^2+5{x_0}）（4-λ）=a（λ-1）-\frac{25}{4}$，即可解得所求λ的值．

解答 （本小题满分14分）
解：函数$f（x）={x^3}+\frac{5}{2}{x^2}+ax+b$的导函数为f'（x）=3x²+5x+a．
（1）当x=-1时极大值2，则f'（-1）=0，f（-1）=2，
即为3-5+a=0，-1+$\frac{5}{2}$-a+b=2，
解得$a=2，b=\frac{5}{2}$；…（4分）
（2）由题意可得函数$F（x）=2f（x）-\frac{5}{2}{x^2}-（{2a-1}）x-3b$存在三个不同的零点，
即方程2x³+$\frac{5}{2}$x²+x-b=0有三个实数解．
令g（x）=2x³+$\frac{5}{2}$x²+x，则g′（x）=6x²+5x+1=（2x+1）（3x+1），
由g′（x）=0，可得x=-$\frac{1}{2}$或$x=-\frac{1}{3}$，
且$（-∞，-\frac{1}{2}），（-\frac{1}{3}，+∞）$是其单调递增区间，$（-\frac{1}{2}，-\frac{1}{3}）$是其单调递减区间，$g（-\frac{1}{2}）=-\frac{1}{8}，g（-\frac{1}{3}）=-\frac{7}{54}$．因此，实数b的取值范围是$（-\frac{7}{54}，-\frac{1}{8}）$．（9分）
（3）由（1）知点A（x₀，f（x₀））处的切线l₁的方程为y-f（x₀）=f'（x₀）（x-x₀），
与y=f（x）联立得f（x）-f（x₀）=f'（x₀）（x-x₀），即${（x-{x_0}）^2}（x+2{x_0}+\frac{5}{2}）=0$，
所以点B的横坐标是${x_B}=-（2{x_0}+\frac{5}{2}）$，
可得${k_1}=3{x_0}^2+5{x_0}+a，{k_2}=3{（2{x_0}+\frac{5}{2}）^2}-5（2{x_0}+\frac{5}{2}）+a$，
即${k_2}=12{x_0}^2+20{x_0}+\frac{25}{4}+a$，k₂=λk₁等价于$（3{x_0}^2+5{x_0}）（4-λ）=a（λ-1）-\frac{25}{4}$，
解得$λ=4，a=\frac{25}{12}$．
综上可得，当$a=\frac{25}{12}$时存在常数λ=4使得k₂=λk₁．…（14分）

点评 本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调区间、极值，考查存在性问题的解法，考查化简整理的运算能力，属于中档题．