Question

6．已知直线$\frac{x}{a}$+$\frac{y}{b}$=2经过点P（cosa，sina），（a∈R），则$\frac{1}{{a}^{2}}$+$\frac{1}{{b}^{2}}$的最小值等于4．

Answer 1

分析 由题意，P在圆x²+y²=1上，P又在直线$\frac{x}{a}$+$\frac{y}{b}$=2上，所以直线和圆是相交或相切，可得2×$\frac{|ab|}{\sqrt{{b}^{2}+{a}^{2}}}$≤1，两边平方，取倒数，即可求出$\frac{1}{{a}^{2}}$+$\frac{1}{{b}^{2}}$的最小值．

解答 解：由题意，P在圆x²+y²=1上，P又在直线$\frac{x}{a}$+$\frac{y}{b}$=2上，
所以直线和圆是相交或相切，
所以圆心（0，0）到直线bx+ay-2ab=0的距离2×$\frac{|ab|}{\sqrt{{b}^{2}+{a}^{2}}}$≤1，
所以$\frac{1}{{a}^{2}}$+$\frac{1}{{b}^{2}}$≥4，
所以$\frac{1}{{a}^{2}}$+$\frac{1}{{b}^{2}}$的最小值等于4．

点评 本题考查$\frac{1}{{a}^{2}}$+$\frac{1}{{b}^{2}}$的最小值，考查直线与圆的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，确定P在圆x²+y²=1上，P又在直线$\frac{x}{a}$+$\frac{y}{b}$=2上是关键．