Question

已知函数f（x）=a+b^x（b＞0，b≠1）的图象过点（1，4）和点（2，16）．
（1）求f（x）的表达式；
（2）解不等式f（x）＞（

1

2

） 3-x2；
（3）当x∈（-3，4]时，求函数g（x）=log₂f（x）+x²-6的值域．

Answer 1

考点：指数函数的图像与性质,指数函数的图像变换

专题：函数的性质及应用

分析：（1）把点代入即可求出f（x）的表达式，
（2）根据指数的单调性，原不等式转化为2x＞x²-3，解不等式即可；
（3）根据对数函数的图象和性质，函数g（x）转化为g（x）=（x+1）²-7，根据定义域即可求出值域

解答： 解：（1）由题知

4=a+b 16=a+b2

解得

a=0 b=4

或

a=7 b=-3

（舍去）
∴数f（x）=4^x，
（2）f（x）＞（

1

2

） 3-x2，
∴4^x＞（

1

2

） 3-x2，
∴2^2x＞2x2-3
∴2x＞x²-3
解得-1＜x＜3
∴不等式的解集为（-1，3），
（3）∵g（x）=log₂f（x）+x²-6=log₂4^x+x²-6=2x+x²-6=（x+1）²-7，
∴x∈（-3，4]，
∴g（x）_min=-7，
当x=4时，g（x）_max=18 　
∴值域为[-7，18]

点评：本题考查了指数函数的图象和性质，属于基础题