Question

如图所示，等腰梯形ABCD的两底分别为AD=2，BC=1，∠BAD=45°，直线MN⊥AD交于M，交折线ABCD于N，记AM=x，试将梯形ABCD位于直线MN左侧面积y表示为x的函数，并写出函数的定义域．

Answer 1

分析：由题目给出的已知条件求出HG的长度及BH的长度，然后根据M点的位置分别计算直线MN左侧图形的面积．最后列出分段函数解析式．

解答：解：∵四边形ABCD是等腰梯形，且AD=2，BC=1，∠BAD=45°，
知：GH=1，AH=GD=

1

2

，BH=CG=

1

2

．
当0＜x≤

1

2

时，在△AMN中，∠MAN=45°，故MN=AM=x，∴y=

1

2

x2；
当

1

2

＜x≤

3

2

时，y=

1

8

+(x-

1

2

)×

1

2

=

1

2

x-

1

8

；
当

3

2

＜x≤2时，y=

1

2

(1+2)×

1

2

-(2-x)2×

1

2

=

3

4

-

1

2

(x-2)2．
故y与x的函数关系式为y=

1 2 x2                (0＜x≤ 1 2 ) 1 2 x- 1 8               ( 1 2 ＜x≤ 3 2 ) - 1 2 (x-2)2+ 3 4   ( 3 2 ＜x≤2)

函数的定义域为（0，2]．

点评：本题考查了函数解析式的求解及常用方法，体现了数学转化思想方法，考查了几何图形面积的求法，是基础题．