Question

17．已知圆C经过两点A（1，1），B（-2，-2），且在y轴上截得的弦长为4$\sqrt{2}$，半径小于4．
（1）求圆C的方程；
（2）若圆C与直线x-y+a=0交于A、B两点，且OA⊥OB（O是坐标原点），求a的值．

Answer 1

分析 （1）设出圆的一般方程，由已知列式求得D，E，F的值，结合半径小于4可得圆C的方程；
（2）联立直线方程和圆的方程，化为关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系取得A，B的横纵坐标的积，再由OA⊥OB联立求解得答案．

解答 解：（1）设圆的方程为x²+y²+Dx+Ey+F=0．
∵圆C经过两点A（1，1），B（-2，-2），
∴D+E+F+2=0，2D+2E-F-8=0①，
又在y轴上截得的弦长为4$\sqrt{2}$，得y²+Ey+F=0的两根差的绝对值为$4\sqrt{2}$．
即$|{y}_{1}-{y}_{2}|=\sqrt{（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}-4{y}_{1}{y}_{2}}=\sqrt{{E}^{2}-4F}=4\sqrt{2}$，得E²-4F=32②，
联立①②得$\left\{\begin{array}{l}{D=-2}\\{E=-4}\\{F=4}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{D=-10}\\{E=4}\\{F=4}\end{array}\right.$．
∵半径小于4，∴D=-2，E=-4，F=4．
则圆C的方程为x²+y²-2x-4y+4=0；
（2）联立$\left\{\begin{array}{l}{x-y+a=0}\\{{x}^{2}+{y}^{2}-2x-4y+4=0}\end{array}\right.$，得2x²+（2a-6）x+（a-2）²=0．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则${x}_{1}+{x}_{2}=3-a，{x}_{1}{x}_{2}=\frac{（a-2）^{2}}{2}$，则${y}_{1}{y}_{2}=（{x}_{1}+a）（{x}_{2}+a）={x}_{1}{x}_{2}+a（{x}_{1}+{x}_{2}）+{a}^{2}$．
∵OA⊥OB，
∴${x}_{1}{x}_{2}+{y}_{1}{y}_{2}=2{x}_{1}{x}_{2}+a（{x}_{1}+{x}_{2}）+{a}^{2}$=$2•\frac{（a-2）^{2}}{2}+a（3-a）+{a}^{2}=0$．
即a²-a+4=0．
此方程无解．
∴满足条件的a值不存在．

点评 本题考查直线与圆位置关系的应用，训练了平面向量在求解圆锥曲线问题中的应用，体现了“设而不求”的解题思想方法，是中档题．