题目内容
在平面四边形ABCD中，若（
+
）•
=0，
•
=
，
∥
，
•
=0，且|
|=2，则四边形ABCD的面积为 ．
| ||
|
|
| ||
|
|
| DA |
| ||
|
|
| ||
|
|
| 1 |
| 2 |
| AB |
| DC |
| AB |
| BC |
| AC |
考点：平面向量数量积的运算
专题：平面向量及应用
分析：由
∥
，
•
=0，可得四边形ABCD是直角梯形．由
•
=
，可得cos∠DAC=
，∠DAC=60°．
由（
+
）•
=0，可得AC=CD，即△ACD是等边三角形．再利用三角形的面积计算公式即可得出．
| AB |
| DC |
| AB |
| BC |
| ||
|
|
| ||
|
|
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
由（
| ||
|
|
| ||
|
|
| DA |
解答：
解：∵
∥
，
•
=0，
∴四边形ABCD是直角梯形．
∵
•
=
，
∴cos∠DAC=
，∴∠DAC=60°．
∵（
+
）•
=0，
∴AC=CD，
因此△ACD是等边三角形．
∴∠ACB=30°．
∵|
|=2．
∴S△ACD=
×22=
，|
|=
．
∴S△ABC=
|BC||AC|sin30°=
×
×2×
=
．
∴四边形ABCD的面积为
．
故答案为：
．
| AB |
| DC |
| AB |
| BC |
∴四边形ABCD是直角梯形．
∵
| ||
|
|
| ||
|
|
| 1 |
| 2 |
∴cos∠DAC=
| 1 |
| 2 |
∵（
| ||
|
|
| ||
|
|
| DA |
∴AC=CD，
因此△ACD是等边三角形．
∴∠ACB=30°．
∵|
| AC |
∴S△ACD=
| ||
| 4 |
| 3 |
| BC |
| 3 |
∴S△ABC=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 3 |
| 1 |
| 2 |
| ||
| 2 |
∴四边形ABCD的面积为
3
| ||
| 2 |
故答案为：
3
| ||
| 2 |
点评：本题考查了向量垂直与数量积的关系、等腰三角形与等边三角形的性质、向量的三角形法则、三角形的面积计算公式，考查了推理能力和计算能力，属于难题．
练习册系列答案
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