Question

6．给出下列函数：
①y=x+$\frac{1}{x}$；
②y=lgx+log_x10（x＞0，x≠1）；
③y=sinx+$\frac{1}{sinx}$（0＜x≤$\frac{π}{2}$）；
④y=$\frac{{x}^{2}+3}{\sqrt{{x}^{2}+2}}$；
⑤y=$\frac{1}{2}$（x+$\frac{1}{x-2}$）（x＞2）．
其中最小值为2的函数序号是③⑤．

Answer 1

分析 运用分类讨论可判断①②不成立；由函数的单调性可知④不成立；运用正弦函数的单调性可得③对；由x-2＞0，运用基本不等式可知⑤对．

解答 解：①y=x+$\frac{1}{x}$，当x＞0时，y有最小值2；x＜0时，有最大值-2；
②y=lgx+log_x10（x＞0，x≠1），x＞1时，有最小值2；0＜x＜1时，有最大值-2；
③y=sinx+$\frac{1}{sinx}$（0＜x≤$\frac{π}{2}$），t=sinx（0＜t≤1），y=t+$\frac{1}{t}$≥2$\sqrt{t•\frac{1}{t}}$=2，x=$\frac{π}{2}$最小值取得2，成立；
④y=$\frac{{x}^{2}+3}{\sqrt{{x}^{2}+2}}$=$\sqrt{{x}^{2}+2}$+$\frac{1}{\sqrt{{x}^{2}+2}}$，t=$\sqrt{{x}^{2}+2}$（t≥$\sqrt{2}$），y=t+$\frac{1}{t}$递增，t=$\sqrt{2}$时，取得最小值$\frac{3\sqrt{2}}{2}$；
⑤y=$\frac{1}{2}$（x+$\frac{1}{x-2}$）（x＞2）=$\frac{1}{2}$（x-2+$\frac{1}{x-2}$+2）≥$\frac{1}{2}$（2$\sqrt{（x-2）•\frac{1}{x-2}}$+2）=2，x=3时，取得最小值2．
故答案为：③⑤．

点评 本题考查函数最值的求法，考查基本不等式的运用，考查运算能力，属于中档题和易错题．