Question

15．某圆锥曲线C是椭圆或双曲线，若其中心为坐标原点，对称轴为坐标轴，且过点A（$-2，2\sqrt{3}）$，B（1，-3）．试求其离心率．

Answer 1

分析 设圆锥曲线方程为mx²+ny²=1，将A和B代入即求得m和n的值，求得曲线方程，根据双曲线的性质，即可求得其离心率．

解答 解：设圆锥曲线方程为mx²+ny²=1，
将A（$-2，2\sqrt{3}）$，B（1，-3）代入圆锥曲线方程，
整理得：$\left\{\begin{array}{l}{4m+12n=1}\\{m+9n=1}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{m=-\frac{1}{8}}\\{n=\frac{1}{8}}\end{array}\right.$，
圆锥曲线方程为：$\frac{{y}^{2}}{8}-\frac{{x}^{2}}{8}=1$，
∴曲线C为焦点在y轴上的双曲线，
∴a=2$\sqrt{2}$，b=2$\sqrt{2}$，c=4，
∴双曲线的离心率e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{2}$，
∴离心率为$\sqrt{2}$．

点评 本题考查曲线方程的求法，考查双曲线的几何性质及离心率公式，考查计算能力，属于中档题．